Lãi suất thực hưởng và số e
Mọi người ngày xưa khi học đều biết số e, là logarit tự nhiên. E là giới hạn của dãy (1+1/n)^n khi n tiến đến vô cùng. Điều thú vị là, biểu thức trên được nghiên cứu khi người ta tính lãi kép.
Giả sử lãi suất hàng năm là r, nếu chia nhỏ theo hàng tháng, thì lãi suất mỗi tháng là r/12. Sau 1 tháng, vốn sẽ nở ra tăng gấp (1+ r/12) lần, sau hai tháng tăng gấp (1+r/12)^2, sau 12 tháng sẽ tăng gấp (1+r/12)^12 lần.
Khi đó (1+r/12)^12 -1 là lãi thực kép (Effective Annual Rate) của khoản đầu tư.
Tương tự, nếu tính lãi theo ngày, lãi thực kép sẽ là (1+r/365)^365-1.
Trí tưởng tượng của con người đi xa hơn khi họ tính lãi theo giây, millisecond xem lãi thực kép tới đâu.
Con số đó là lim(1+r/N)^N-1 khi N lớn vô cùng, bằng e^r-1.
Nhận định của công ty chứng khoán
Hoặc giả sử có 3 công ty chứng khoán dự đoán VNIndex ngày mai, với hai khả năng, tăng hoặc giảm. Công ty A dự đoán 20% sẽ tăng, 80% là giảm. Công ty B dự đoán 30% và 70% giảm, Công ty C dự đoán 80% tăng và 40% giảm. Theo thống kê, cứ 100 lần công ty A đoán thì đúng khoảng 70 lần, con số này của B là 60 và C là 40 lần. Giả định, một đám đông mỗi lần chỉ tin vào một trong 3 công ty, tính xác suất để họ tin VNIndex tăng?
Do công ty A có xác suất trúng 70%, B có 60% và C có 40% nên xác suất để đám đông nghe theo A là 70/(70+60+40) = 41%, nghe theo B là 60/(70+60+40) = 35% và nghe theo C là 24%.
Khi đám đông tin A, thì họ tin rằng VNIndex tăng khi họ tin (1) A đoán đúng và A đoán tăng hoặc (2) A đoán sai và A đoán giảm.
Xác suất của (1) bằng xác suất A đoán đúng * xác suất A đoán tăng = 0.7 * 0.2 = 0.14. Xác suất (2) bằng 0.3*0.8 = 0.24, tổng là 0.14 + 0.24 = 0.38.
Khi đám đông tin B, xác suất họ tin VNIndex tăng là 0.3 * 0.6 + 0.7 * 0.4 = 0.46
Khi đám đông tin C, xác suất họ tin VNIndex tăng là 0.80.6 + 0.20.4 = 0.56
Tổng gộp lại, trung bình xác suất họ tin VNIndex tăng là: 41% * 0.38 + 35% * 0. 46 + 24% * 0.56 = 0.15 + 0.16 + 0.13 = 0.43. Con số cho thấy quá nửa không tin sẽ tăng.
An toàn trên hết với Roy’s safety-first criterion
Có một nhà đầu tư lựa chọn 2 danh mục, danh mục A với lợi suất hàng năm trung bình là 12% với mức biến động khá cao: độ lệch chuẩn = 18%, còn danh mục B lợi suất hàng năm 10% nhưng biến động ít hơn với độ lệch chuẩn 12%. Ưu tiên số một của ông là bảo toàn vốn, không lỗ. Vậy ông chọn A hay B?
Hoàn toàn có thể giả định rằng lợi suất tuân theo phân phối chuẩn với giá trị kỳ vọng là giá trị trung bình nêu trên và độ lệch chuẩn tương ứng.
Trong trường hợp danh mục A, xác suất để lỗ, tức lợi suất âm, được tính bởi P(z<(12-0)/18) = 25.14%, trong đó z tuân theo phân phối chuẩn hóa. Tương tự, trường hợp danh mục B, xác suất để lỗ là P(z<(10-0)/12) = 20.33% < 25.12%. Xác suất lỗ của danh mục A > danh mục B. Vậy nhà đầu tư sẽ chọn danh mục B.
Chọn danh mục để xác suất lợi suất nhỏ hơn mức tối thiểu cho trước, gọi là chọn danh mục theo chuẩn an toàn trên hết của Roy (Roy’s safety-first criterion)